浮点数，为什么不精确？

本文不是详细教程、是我的笔记，我重新梳理了浮点数相关的知识，所以不会写的特别详细、不会详细介绍 IEEE754 浮点数标准。

本文用 B（binary） 下标表示二进制，用 D （decimal）表示 10 进制。

先说几个基础知识：

• 二进制小数比如 0.125B * 2的1次方 = 1.25B，1.25B * 2的 -1 次方 = 0.125B
  也就是说：二进制数字，乘以 2 的 N 次方，则小数点往右边移动 N 位；乘以 2 的 -N 次方，则小数点往左边移动 N 位。
• 十进制小数转换成的二进制小数，和浮点数如何在计算机中存储，是两个问题！！

十进制的整数，在计算机中是怎么用二进制存储的？这个程序员基本都知道，大概过程就是将十进制转换成二进制的 0 和 1 然后存储，这个很容易理解。

不好理解的是，十进制的小数，比如 0.125 以什么样的二进制形式存储在计算机中呢？

再次插入两个基本概念：定点数和浮点数。

“定点”定的是“小数点”！所以定点数也可以表示整数和小数，定点数如果要表示整数或小数，分为以下三种情况：

• 1. 纯整数：例如整数100，小数点其实在最后一位，所以忽略不写
• 2. 纯小数：例如：0.123，小数点固定在最高位
• 3. 整数+小数：例如1.24、10.34，小数点在指定某个位置

对于前两种情况，纯整数和纯小数，因为小数点固定在最低位和最高位，所以它们用定点数表示时，原理是相同的，只需要把整数部分、小数部分，按照十进制转二进制的规则，分别转换即可。

而对于整数 + 小数的情况，用定点表示时，需要约定小数点的位置，才能在计算机中表示。

定点数表示整数+小数

种情况下，我们需要先约定小数点的位置。

依旧以 1 个字节（8 bit）为例，我们可以约定前 5 位表示整数部分，后 3 位表示小数部分。

对于数字 1.5 用定点数表示就是这样：

这就是用定点数表示一个小数的方式。这里再总结一下这个过程：

• 1. 在有限的 bit 宽度下，先约定小数点的位置
• 2. 整数部分和小数部分，分别转换为二进制表示
• 3. 两部分二进制组合起来，即是结果

但是有没有发现一个问题，我们约定了前 5 位表示整数部分，后 3 位表示小数部分，此时这个整数部分的二进制最大值只能是 11111，即十进制的 31，小数部分的二进制最大只能表示 0.111，即十进制的 0.875。

如果我们想要表示更大范围的值，怎么办？

• 1.扩大 bit 的宽度：例如使用 2 个字节、4 个字节，这样整数部分和小数部分宽度增加，表示范围也就变大了。
• 2.改变小数点的位置：小数点向后移动，整个数字范围就会扩大，但是小数部分的精度就会越来越低，没有办法表示类似 0.00001 这种高精度的值。

由此我们发现，不管如何约定小数点的位置，都会存在以下问题:

• 数值的表示范围有限（小数点越靠左，整个数值范围越小）
• 数值的精度范围有限（小数点越靠右，数值精度越低）

总的来说，就是用定点数表示的小数，不仅数值的范围表示有限，而且其精度也很低。要想解决这 2 个问题，所以人们就提出了使用「浮点数」的方式表示数字。

浮点数

何为“浮点”？如下图，同一个数，小数点位置不同，乘以 10 的 N 次幂的 N 值就不同了！

8.345 = 8.345 * 10^0
8.345 = 83.45 * 10^-1
8.345 = 834.5 * 10^-2

如上，float 浮点数，第一位是标志位（表示正负，0表示正，1表示负），之后8位表示“幂（exponent）”，再之后23位表示“尾数（mantissa）”，这个“尾数”是不是感觉有点不好理解，你可以理解为 “83.45 * 10^-1” 中的 83.45 。

举例：将十进制数 25.125 转换为浮点数

整数部分：25(D) = 11001(B)
小数部分：0.125(D) = 0.001(B)
用二进制科学计数法表示：25.125(D) = 11001.001(B) = 1.1001001 * 2^4(B)

OK，到这里，“尾数（mantissa）”已经确定是 1.1001001 了，而“幂（exponent）”是 4 ，在二进制中“底数”默认是 2 。

这里有几个地方要注意

关于“尾数（mantissa）”注意事项

“尾数（mantissa）”按规范，小数点前面只有一位且必须是1（这也注定了“尾数（mantissa）”的值范围： 1 <= M < 2 ），所以可以省略，这一位可以省略。

关于“幂（exponent）”注意事项

上面说了，“幂（exponent）”一共8个比特位，可表示的值范围是 0-255，但是呢，“幂（exponent）”可以是负数啊，但一共8个比特位，难道还有再拿出来一位表示正负？太浪费了吧！

IEEE 规范是这样处理的：一共8个比特位的“幂（exponent）”可表示的范围是 -127 到 128，但是，“幂（exponent）”的实际值，加上一个中间数 127 后的值当作存在计算机中的“幂（exponent）”，比如 1.1001001 * 2^4(B) 中的“幂（exponent）”是 4 但是存的是时候存 127+4=131 ，即：10000011 。

所以 25.125(D) = 11001.001(B) = 1.1001001 * 2^4(B) 在计算机中是这样存储的：

然后我们再看看，25.125(D) 在计算机中对应的二进制是怎么存的：

浮点数为什么有精度损失？

其实浮点数为什么会有精度损失，跟上面介绍的浮点数的储存形式，没有绝对的关系。

十进制小数，无法全部都用二进制小数表示。

要理解这句话，你可以拿起纸和笔计算一下，将 0.1D 转换成二进制小数，你会发现会无限循环下去。这就说明了“十进制小数，无法全部都用二进制小数表示。”。说明了，其实跟 float、double 关系不大，不管用 float 还是 double 都注定了0.1D 无法精确转换成二进制小数。

我再举个例子，这是我自己想的，来帮助理解“十进制小数，无法全部都用二进制小数表示。”这句话，如下：

对于正整数，不管几进制，都可以完全一对一转换，因为不管几进制，增加或减少的单位都是 1 。

但是小数，是“平分”的过程，十进制小数，是以 10 为单位去平分，比如 0.1 是将1分成10份，0.2 是将1分成10份后取其中两份，0.01是将 1 分成 10*10 份。不同进制之间，平分的单位是不一样的，二进制小数，是以 2 为单位平分。这就注定了，不同进制的小数，无法一一对应。

几乎每篇介绍浮点类型 float 的时候都会说：

浮点数 float 的精度通常被认为是 6到7位有效数字。

那么，浮点数 float 的精度通常被认为是6到7位有效数字，“6到7位有效数”具体是什么意思？怎么理解呢？

1. 什么是有效数字？

有效数字是指一个数字中从第一个非零数字开始，到最后一位数字为止的所有数字。例如：

• 123.456 有 6 位有效数字。
• 0.00123 有 3 位有效数字（前导零不算）。【看过前面对浮点数存储的表述，你应该能明白为什么前导0都不算了，因为尾数的首位默认都是1】
• 1.2300 有 5 位有效数字（末尾的零也算）。

2. 为什么是6到7位有效数字？

• 23 位尾数 可以表示的最大二进制精度是 2的23次方 = 8,388,608223 = 8,388,608，这大约相当于 7 位十进制数字。【结合下面例子理解，我这里简单说下，这里的“精度”指的是“尾数”，float中尾数占23个比特位，可以表示6到7位十进制数字。】
• 但由于浮点数的存储方式和舍入误差，实际精度可能会稍微降低，因此通常认为 float 的精度是 6到7位有效数字。

再结合下面例子理解：

上面这个例子中，123.456 是 6 位有效数字，float 可以准确表示。

上面这个例子中，123.456789 是 9 位有效数字，float 无法准确表示，最后几位会被舍入，输出结果为 123.45679。

无论是大数还是小数，float 的精度都限制在 6到7位有效数字。

OK，本文结束，重点是要理解，float 的精度/有效尾数是 6到7 位，指的是“尾数”的精确度！！！